\chapter{1859年,黎曼$\zeta$函数$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$的解析性质研究}
	
	\begin{abstract}
		本文系统研究广义调和级数$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$的解析性质。首先建立级数在$\Re(s)>1$时的绝对收敛性，然后通过解析延拓将其定义域扩展到复平面。重点讨论$s$取整数值时的特殊和，包括欧拉关于$\zeta(2)$的经典结果以及伯努利数与$\zeta(2k)$的关系。最后探讨该函数在素数分布研究中的核心地位，揭示其与黎曼猜想的深刻联系。
	\end{abstract}
	
	\section{定义与基本性质}
	\begin{definition}
		对于复变量$s=\sigma+it$ ($\sigma>1$)，定义黎曼$\zeta$函数为：
		\begin{equation}
			\zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	\begin{theorem}[收敛性]
		级数在$\Re(s)>1$时绝对收敛，在$\Re(s)\leq 1$ ($s\neq1$)时条件发散。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		利用积分判别法：对于$\sigma>1$，
		\begin{equation}
			\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{1}{n^s}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\sigma} \leq 1 + \int_1^\infty \frac{dx}{x^\sigma} = \frac{\sigma}{\sigma-1} < \infty
		\end{equation}
		当$\sigma=1$时为调和级数，已知发散。
	\end{proof}
	
	\section{特殊值计算}
	
	\subsection{正整数点}
	\begin{theorem}[欧拉, 1734]
		\begin{equation}
			\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}
		\end{equation}
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[偶数点通式]
		对于任意正整数$k$，
		\begin{equation}
			\zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{(2\pi)^{2k} B_{2k}}{2(2k)!}
		\end{equation}
		其中$B_n$为伯努利数。
	\end{theorem}
	
	\begin{example}
		计算$\zeta(4)$：
		\begin{align}
			\zeta(4) &= -\frac{(2\pi)^4 B_4}{2 \times 24} = \frac{16\pi^4 \times \frac{1}{30}}{48} = \frac{\pi^4}{90}
		\end{align}
	\end{example}
	
	\subsection{负整数点}
	通过函数方程可得：
	\begin{equation}
		\zeta(-n) = -\frac{B_{n+1}}{n+1} \quad (n\in\mathbb{N})
	\end{equation}
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{$\zeta$函数特殊值表}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			$s$ & $\zeta(s)$ \\
			\hline
			2 & $\pi^2/6$ \\
			4 & $\pi^4/90$ \\
			-1 & $-1/12$ \\
			-3 & $1/120$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{解析延拓与函数方程}
	通过复变函数理论可证明：
	
	\begin{theorem}[解析延拓]
		$\zeta(s)$可延拓为整个复平面上的亚纯函数，仅在$s=1$处有一阶极点。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[函数方程]
		引入完备$\xi$函数：
		\begin{equation}
			\xi(s) := \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
		\end{equation}
		则有对称关系：
		\begin{equation}
			\xi(s) = \xi(1-s)
		\end{equation}
	\end{theorem}
	
	\section{与素数分布的联系}
	\begin{theorem}[欧拉乘积公式]
		对于$\Re(s)>1$，
		\begin{equation}
			\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}
		\end{equation}
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[素数定理等价形式]
		$\zeta(s)$在$\Re(s)=1$上无零点与素数定理$\pi(x)\sim x/\log x$等价。
	\end{theorem}
	
	\section{黎曼猜想}
	著名的未解决问题：
	
	\begin{conjecture}[黎曼假设]
		$\zeta(s)$的所有非平凡零点都位于临界线$\Re(s)=1/2$上。
	\end{conjecture}
	
	该猜想与素数分布的精细结构有深刻联系，如证明将改进素数定理的误差项估计。
	
	\section*{结论}
	黎曼$\zeta$函数作为连接离散数论与连续分析的桥梁，其研究不仅揭示了调和级数的深层结构，更为解析数论的发展提供了强大工具。从欧拉时代的基础求和研究到现代量子混沌领域的应用，$\zeta$函数理论持续展现着数论与分析的完美交融。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{titchmarsh}
		Titchmarsh, E. C. (1986). \emph{The Theory of the Riemann Zeta-Function}. Oxford University Press.
		
		\bibitem{apostol}
		Apostol, T. M. (1976). \emph{Introduction to Analytic Number Theory}. Springer.
		
		\bibitem{edwards}
		Edwards, H. M. (1974). \emph{Riemann's Zeta Function}. Academic Press.
	\end{thebibliography}
	